数列.mws

数列

　

数列とはどんなもの

３、５、７、９、１１、・・・　　　　　　・・・①

のように、ある規則に従って、「数」を一列に並べたものを数列という。

＜数列の学習で必要な基本用語＞

数列を作っている一つ一つの数を　 項 　という。

数列の項は最初から順に、 第１項、第２項、第３項 、・・・　といい、第ｎ番目の項を 第ｎ項 という。

特に、第１項を初項といい、第ｎ項を一般項 という。

数列①を例にとると、初項（第１項）は３、第２項は５、第３項は７である。

＜数列の一般的な表し方＞

数列を一般的に次のように記号で表す。

初項を a[1] , 第２項を a[2] ,　第３項を a[3] 　・  ・  ・　一般項（第ｎ項）を a[n]    として、次のように書く。　　

         a[1], a[2], a[3], a[4] ,  ・  ・  ・  , a[n] ,  ・  ・  ・

この数列全体を数列｛ a[n] ｝と略記することがある。

例えば数列　　3,5,7,9,11,・・・

は数列　｛ 2*n+1 ｝　と表すことができる。

　

問題　数列１

　

次の数列の初項と第５項と一般項を答えなさい。　

　

１）　　１、２、３、４、・  ・  ・

２）　　 1, 1/2, 1/3, 1/4 ,・  ・  ・

３）　　数列｛ 3*n+2 ｝       

4)     数列｛ n^2 ｝  

　

   答数列１

　 　　

１）　　１、５、 a[n] = n

2)      1,   1/5 ,    a[n] = 1/n     

3)      5,  17,   a[n] = 3*n+2

4)      1,  25,   a[n] = n^2

  

等差数列

　

　数列　　　　２、５、８、１１、・  ・  ・

　は、初項 ２ に　３ を次々と加えることを規則にして得られる数列である。

  また、隣同士の項の差に注目すると、その差が ３ である。

 上の例のように、隣同士の項の 差が等しい 数列を等差数列という。

 このときの差  ３　のことを 公差といい記号ｄ （ common difference）で表す。

　

　例えば、次の数列は初項７、公差５の等差数列である。

　　　　　　　７、１２、１７、２２、、・  ・  ・

問題・等差１

次の等差数列の初項と公差を求めなさい。

１）　　４，２，０、－２、・  ・  ・

２）　　－８、－４，０，４、・  ・  ・

答え等差１

１）　４、ｄ＝－２

２）　－８、ｄ＝４

等差数列の一般項

　

初項a,　公差ｄ　である等差数列がある。

このとき、 a[1], a[2], a[3]  ・・・ a[n]    を　a,d　で表現することを考えてみよう。

等差数列は、初項に公差を次々に加えていくことにより得られる数列であるから

      a[1] = a

      a[2] = a+d  

      a[3] = a[2]+d   =   a+d+d = a+2*d    

　    ここで、　 a[4], a[5] ,・・・   はどうなるか考えてみよう。

  　　　　 　（　各自、考えて見てください。）

  　すると   

      a[n] = a+(n-1)*d       が得られます。     これが等差数列の一般項の公式です 。

上記の公式は、初項と公差が分かれば、全ての項が分かることを示している。

例えば、初項が６、公差が５である等差数列の第３項は

　　　　　 a[3] = 6+(3-1)*5     を計算すれば得ることができる。

　　　　　即ち、　 a[3] = 16     である。

また、一般項　 a[n]     は    a = 6, d = 5   であるから

　　　　　 a[n] = 6+(n-1)*5 　　　を計算して　　　 a[n] = 5*n+1 　　を得る。　　

　　

問題・等差数列・一般項

次の等差数列の第５項と一般項を求めよ。

１）　　初項　７、　公差　３

２）　　数列　　　１３、１１、９、７、・  ・  ・

３）　　第2項が　８、　第5項が　１４　である等差数列の初項と公差を求めよ

　

答え

1)    a[5] = 19         a[n] = 3*n+4

2)    a[5] = 5           a[n] = -2*n+15  

３）　 第2項が　８      だから　　 a[2] = a+(2-1)*d  =8

       第5項が　１４    だから　　 a[5] = a+(5-1)*d  =14

      この連立方程式を解いて

　　　初項　ａ＝５、公差　ｄ＝３　　

数列の和の記号　 s[n]   について（s は sum の頭文字です）

        　数列の和の表現について

　　　　　　 a[1]+a[2] 　　　　　のことを　 s[2]    と表現する。

         　　 a[1]+a[2]+a[3] 　　　　　のことを　 s[3]    と表現する。

               a[1]+a[2]+a[3]+a[4] 　　　　　のことを　 s[4]    と表現する。

　一般に、

　　　    s[n]   =   a[1]+a[2]+a[3]  +・  ・  ・＋　 a[n] 　  である。　

　特に、　 s[1] = a[1]     である。

等差数列の和について

　等差数列　    　　1,2,3,4,・  ・  ・,1000   の和を求めてみよう。

  すなわち　　　　　 s[1000] ＝　　１　＋　２　＋　３　＋　４　＋　・・・　　＋　１０００　　　である。

 １０００個の数の和であるから、計算が大変である。上手く工夫をして簡単に答えを出す方法はないものだろうか？

　有名な数学者ガウスは　瞬時に　５０５０００　と計算したという。（本当は　１から５０　までの和であった）

＜Ｇａｕｓｓの上手い計算の仕方＞

＜Gaussの方法＞

　　　　１＋２＋３＋４＋・・・＋　１０００　　は　１０００＋９９９＋９９８＋・・・＋１　　と等しいことを利用して　　

　

　　　 s[1000] ＝　 　１　 ＋　 ２　 ＋　３　＋ 　４ 　＋　・・・　　＋　１０００　　　・・・①　　

　　　 s[1000] ＝ １０００ ＋ ９９９ ＋９９８　＋ ９９７ 　＋　・・・　＋　１　　　　　　・・・②

　　ここで、①＋②を考えると

　　 2*s[1000] = １００１ ＋ １００１ ＋１００１＋ １００１ ＋　・・・　＋１００１　　となる

　　 2*s[1000] =１００１×１０００

　　　　

　　よって、次の答えを得る。

　　　 s[1000] =５０５０００

　　なかなか上手い方法である。

　問題Gauss

　　Ｇaussの方法をまねて、和を求めよ。

1)       s[1234] =1+2+3+・  ・  ・＋1234

2)       s[10] =1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

解答Gauss

1)      761995             

2)           100

ここで、初項　ａ　、公差　ｄ　の等差数列の第ｎ項までの和　 s[n]   を求めてみよう。

即ち

s[n] = a+{a+d}+{a+2*d}+{a+3*d}   +・・・+｛ a+(n-1)*d  ｝　　　の和を求めてみよう。

Gaussの方法 以外の求め方もあるが、ここでは、Gauss と同じ方法により求めてみよう。

前述のように逆に並べた和を考えてみよう。

s[n]   = {    a           } +{　     a+d      } + {　 a+2*d      }   +　　・・・　+{ a+(n-1)*d  }　　・・・①　

s[n] = {a+(n-1)*d}+{a+(n-2)*d}+{a+(n-3)*d} 　+　　・・・        +a　　　　　　　・・・②

ここで、①＋②　より

2*s[n]   ={ 2*a+(n-1)*d  }+{ 2*a+(n-1)*d  }+{ 2*a+(n-1)*d  }+・・・＋{ 2*a+(n-1)*d  }

　　　= n*{2*a+(n-1)*d}

よって、等差数列の和の公式

  s[n] = n*{2*a+(n-1)*d}/2

をえる。

この公式を使うことにより、等差数列の和を簡単に求めることができます。

例えば、　　３＋７＋１１＋１５＋１９＋２３＋２７＋３１　　　の和は

初項   a = 3  , 公差 d = 4  , 項数 n = 8 　　であるから

s[8] = 8*{6+(8-1)*4}/2   =  136

問題　等差数列の和

　次の等差数列の和を公式を利用して求めなさい。

１）　２＋７＋１２＋１７＋２２＋２７＋３２＋３７

２）　６＋９＋１２＋　・  ・  ・　＋（第２００項まで）

３）　９＋７＋５＋　　・  ・  ・　＋（第ｎ項まで）

答え　

1)           156

2)         60900

3)     　　 -n*(n-10)

等比数列

等比数列とはどんなもの

次の数列を良く見てください

３、６、１２、２４、４８、・  ・  ・

この数列は　初項　 a = 3  に　２　を次々に掛けていくことにより得られる数列である。

この数列のように、一定の数を掛けて得られる数列を等比数列という。（隣同士の項の比が一定）

この一定の数のことを公比という。上の数列の公比は　２　である

なお、公比のことを記号　ｒ　で表す。（common ratio)

 問題　等比数列の初項と公差

次の等比数列の初項と公比を求めなさい

１）　　２、６、１８、５４、・  ・  ・

２）　　１２、６、３、・  ・  ・

３）　　２、－４、８、－１６、・  ・  ・

　　答え

1)    a = 2, r = 3

2)    a = 12, r = 1/2

3)    a = 2, d = -2

　

等比数列の一般項

初項が 5  、公比が  2  である等比数列の　 a[1], a[2], a[3], a[4]   .  .  .   a[n]    を求めてみよう。

すぐに下記を見ずに、まず、自分で考えてみよう。

a[1] = 5

a[2] =5・2

a[3] =5・ 2^2

a[4] =5・ 2^3

...................

a[n] =5・ 2^(n-1)

 

では、一般的に

初項が　 a 　、公比が　r　である等比数列の　 a[1], a[2], a[3], a[4]   .  .  .   a[n]    を求めてみよう。

すぐに下記を見ずに、まず、自分で考えてみよう。

a[1] = a

a[2] = a*r

a[3] = a*r^2

a[4] = a*r^3

...................

a[n] = a*r^(n-1)              ・・・　等比数列の一般項の公式

 

問題　等比数列の一般項

　　

次の等比数列の初項、公差、第７項、一般項を求めなさい。

計算が面倒な場合は　 a*r^n   の形で良い。　

　

1)   3 , 6 , 12 , 24 ,   .  .  .

2)   -2 , -6 , -18 , -54 ,    .  .  .

3)   24 , 12 , 6 , 3 ,   .  .  .

4)   2 , -6 , 18 , -54 ,  .  .  .

  答え

 1)    a = 3, r = 2, a[7] = 192, a[n] = 3 ・ 2^(n-1)

 2)    a = -2, r = 3, a[7] = -1458, a[n] = -2 ・ 3^(n-1)

 3)    a = 24, r = 1/2, a[7] = 3/8, a[n] = 24 ・ (1/2)^(n-1)

 4)    a = 2, r = -3, a[7] = 1458, a[n] = 2 ・ (-3)^(n-1)

等比数列の和

　初項　１、公比　２　の等比数列の第１１項までの和を求めてみよう。　

すなわち、　　 s[11] = 1+2+4+8+16 +   .  .  .   +1024               を求めてみよう。

等比数列の和の求め方も、等差数列の時のように上手い和の求め方はないものだろうか。

実は、簡単に　　 s[11] = 2047     と計算することができます。

　このようにすれば、上手く求めることができます。

　 s[11] = 1+2+4+8+16 +   .  .  .   +1024    　　　・・・①  に公比である　２　を掛けます。

  　 2*s[11] = 2+4+8+16 +    .  .  .  +1024+2048  　・・・②

ここで、② - ①　考えます。すると

　　　　 s[11] = 2048-1       を簡単に得ることができます。

よって

　　　　 s[11] = 2047        

 上の例を模倣して、次の等差数列の和を求めなさい

1)   s=2+6+18+54+162

2)   s=8+4+2+1+   .  .  .   + 1/32  

  答え

1)     3s =      6+18+54+162 +486

         s =  2+ 6+18+54+162

上記の二つの式の差より

          3*s-s = 486-2    

　         2*s = 484

                  s=242

２）　　　s = 8+ 4+2+1+  .  .  .    + 1/32

           s/2  =     4+2+1+  .  .  .   + 1/32  + 1/64     

    　

 上記の二つの式の差を考えて

　　        s-s/2 = 8-1/64

      

                s/2 = 511/64

                 s = 511/32

　初項　ａ　　公比　ｄ　　の等差数列の初項から第ｎ項までの和　Ｓ　を求めてみよう。

　　　　　 s = a+a*r+a*r^2+a*r^3  +    .  .  .    + a*r^(n-1)               ・・・①　の和を求める。

　　　　 r*s  =       a*r+a*r^2+a*r^3  +   .  .   .     + a*r^(n-1)+a*r^n         ・・・②

ここで、① - ② を計算して

　　　 s-r*s = a-a*r^n     

因数分解して

　　　 (1-r)*s = a*(1-r^n)

1-r で割ると　　（ゼロで割ることは許されていないので、　r≠１　　の場合である）

　　       s = a*(1-r^n)/(1-r)         ( ｒ　≠　１）

　ｒ＝１　のとき　、　式　①　において　ｒ＝１　を代入して　

　ｓ＝ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋  .  .  .  +ａ  =   n*a

  問題　等比数列

　次の等比数列の和　 s[n]     を求めなさい。

1)    1+2+4+8  .  .  .  + 2^(n-1)

2)    5+15+45+  .  .  .  +5・ 3^(n-1)

3)    1+ x+x^2+x^3+x^4  +  .  .  .  + x^(n-1)            (ｘ≠１　とする）  

　

　答え

1)　         2^n-1

2)   

5/6*3^(n+1)-5/2

3)       (x^n-1)/(x-1)      

和を表わす記号　Σ　（発音は sigma）

  s[n]   =   a[1]+a[2]+a[3]  +・  ・  ・＋　 a[n] 　  のことを　　 sum(a[k],k = 1 .. n)     と表現する。

即ち、

    sum(a[k],k = 1 .. n)    =    a[1]+a[2]+a[3]  +・  ・  ・＋　 a[n]

である。

例えば、

sum(k^2,k = 1 .. 3) = 1^2+2^2+3^2      のことであり

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = sum(k^3,k = 1 .. 5)          のことである。

記号　Σ　の良さは　（ s[n]   に比べて）何であろうか。

それは、「どんな数列の和であるか」をシグマの式を見て分かることである。

次の二つの式を比較してみよう。

sum(2*k-1,k = 1 .. 5)      と     s[5]    

記号　 sum(2*k-1,k = 1 .. 5)  　 は 　１＋３＋５＋７＋９　　　という具体的な五個の数の和であると言う意味であり

記号　 s[5]    は五個の数の和であると言う意味であるが、どんな「数の和であるか」を知ることはできない。

さらに、 s[5]   は、第１項から第５項までの和という意味であり、途中の第３項からの和という意味にするには　

s[5]-s[2]    というように表現しなければならない。

しかし、Σ　を利用すると　　 sum(2*k-1,k = 3 .. 5)       と表現できる。

問題　Σの意味について

次の和はΣで表現し、Σで表された式は足し算の形で表せ。

1)        sum(1/k,k = 1 .. 3)        

2)        sum(k^2+k,k = 3 .. 6)

3)      2+4+6+8

4)      3+6+12+24+48+96

答え

1)      1+1/2+1/3     

2)      3^2+3+4^2+4+5^2+5+6^2+6

3)      sum(2*k,k = 1 .. 4)

4)       sum({3}*2^(k-1),k = 1 .. 6)

  Σ　の公式と計算について

　公式　　 sum(c,k = 1 .. n) = c*n           ただし、ｃ は定数（constant number)

証明　

  sum(c,k = 1 .. n) = c+c+c+c   .  .  .   +c     （ｎ個のＣの和である）

　　　　　＝　ｃｎ

証明終わり

　

応用例

次の和を∑で表し、その和をもとめよ。

　　　７＋７＋７＋・・・＋７　（20個の和）

解

　　 sum(7,n = 1 .. 20) = 140

　公式　　 sum(k,k = 1 .. n) = n*(n+1)/2        

Gauss　の方法もあるが、ここでは別の考え方で証明をしよう

証明

　恒等式　　　　　 (k+1)^2-k^2 = 2*k+1    　   ・・・①　を考えてみよう

　式①はどんな（ｋのどんな値）でも成り立つので、ｋ＝１，２，３，４、…、ｎ　を代入してみよう。

ｋ＝１のとき　　　　　　 2^2-1^2   ＝　２・１＋１

ｋ＝２のとき　　　　　　 3^2-2^2   ＝　２・２＋１

ｋ＝３のとき　　　　　　 4^2-3^2   ＝　２・３＋１

ｋ＝４のとき　　　　　　 5^2-4^2   ＝　２・４＋１

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｋ＝ｎのとき　　　　 (n+1)^2-n^2 = 2*n+1

　

上のｎ個の式を全部たしてみよう。左辺は、同じ数で、＋、－があるので

　　　　　　　　　　　 (n+1)^2-1^2   ＝　２（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）　＋　（１＋１＋１＋・・・＋１）

　　　　　　　　　　　 n^2+2*n = 2*sum(k,k = 1 .. n)+n

                          2*sum(k,k = 1 .. n) = n^2+2*n-n

                               sum(k,k = 1 .. n) = n*(n+1)/2

証明終わり

 

  公式　　 sum(k^2,k = 1 .. n) = n*(n+1)*(2*n+1)/6     

証明

　恒等式　　　　　 (k+1)^3-k^3 = 3*k^2+3*k+1    　   ・・・①　を考えてみよう

　式①はどんな値のｋでも成り立つので、ｋ＝１，２，３，４、…、ｎ　を代入してみよう。

ｋ＝１のとき　　　　　　 2^3-1^3   ＝　３・１＋３・１＋１

ｋ＝２のとき　　　　　　 3^3-2^3   ＝　 3*2^2 ＋３・２＋１

ｋ＝３のとき　　　　　　 4^3-3^3   ＝　 3*3^2 ＋３・３＋１

ｋ＝４のとき　　　　　　 5^3-4^3   ＝　 3*4^2 ＋３・４＋１

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ｋ＝ｎのとき　　　　 (n+1)^3-n^3 = 3*n^2+3*n+1

　

上のｎ個の式を全部たしてみよう。左辺は、同じ数で、＋、－があるので

　　　　　　　　　　　 (n+1)^3-1^3   ＝  3( 1^2+2^2+3^2+4^2 +・・・＋ n^2 )

                                                 + 3（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）　

                                                ＋（１＋１＋１＋・・・＋１）

　　　　　　　　　　　 n^3+3*n^2+3*n = 3*sum(k^2,k = 1 .. n)+3*sum(k,k = 1 .. n)+sum(1,k = 1 .. n)

                          3*sum(k^2,k = 1 .. n) = n^3+3*n^2+3*n-3*n*(n+1)/2-n

                               sum(k^2,k = 1 .. n) = n*(n+1)*(2*n+1)/6

証明終わり

 公式　　 sum(k^3,k = 1 .. n) = {n(n+1)/2}^2

証明は各自試みてください。

わからないところは質問してください。

リアルタイムに回答します。

 

 

　公式　 sum(c*a[k],k = 1 .. n) = c*sum(a[k],k = 1 .. n)    

 

証明

　

sum(c*a[k],k = 1 .. n) = c*a[1]+c*a[2]+c*a[3] +   ・　　・　　・     + c*a[k]

　 　　　　　= c( a[1]+a[2]+a[3] +  ・　　・　　・    + a[k] )

　　　　　　= c*sum(a[k],k = 1 .. n)

 

  

使用例

２＋４＋６＋８＋・・・＋２ｎ

= sum(2*k,k = 1 .. n)

= 2*sum(k,k = 1 .. n)

= 2*n*(n+1)/2

= n*(n+1)

 

 公式　 sum(a[k]+b[k],k = 1 .. n) = sum(a[k],k = 1 .. n)+sum(b[k],k = 1 .. n)

証明

  sum(a[k]+b[k],k = 1 .. n)  =   a[1]+b[1]+a[2]+b[2]+a[3]+b[3]  +    ・　・　・    + a[n] + b[n]

                       =  ( a[1]+a[2]+a[3] +  ・　・　・   + a[n]  ) + ( b[1]+b[2]+b[3]  + ・　・　・  + b[n]  )

                       =   sum(a[k],k = 1 .. n)+sum(b[k],k = 1 .. n)

     

 

使用例　次の和を求めてみよう

（１＋１）＋（２＋１）＋（３＋１）＋・　・　・＋（ｎ＋１）

=   sum(k+1,k = 1 .. n)

= sum(k,k = 1 .. n)+sum(1,k = 1 .. n)

= n*(n+1)/2+n

= n*(n+3)/2 　

　

　Σについての応用と計算

Σを利用すると、一般項が　 a+b*n+c*n^2+d*n^3  +・・・　の形であれば求めることができる。

例えば、次の和を求めてみよう。

１・２＋２・３＋３・４＋　・　　・　　・　＋ｎ（ｎ＋１）

上の和をシグマで表すと　　 sum(k*(k+1),k = 1 .. n)    である。

これを計算して

sum(k*(k+1),k = 1 .. n) = sum(k^2+k,k = 1 .. n)    

                    =    sum(k^2,k = 1 .. n)+sum(k,k = 1 .. n)

                    =    n*(n+1)*(2*n+1)/6+n*(n+1)/2

                    =    n*(n+1)*(2*n+1)/6+3*n*(n+1)/6

　　　　　（因数分解して:分数の因数分解は通分しておくことが大切）

                    =    n*(n+1)/6*(2*n+1+3)

                    =    n*(n+1)*2*(n+2)/6

                    =   n*(n+1)*(n+2)/3    

Warning, premature end of input

漸化式

漸化式とはどんなもの

　等差数列　　２,５,８,１１,１４、　　・・・　　、　 a[n], a[n+1]     、　・・・

 について　　 a[n+1] = a[n]+3      という関係式が成り立っている。　この式のことを漸化式という。

　等比数列　　３，６，１２，２４，４８、　　・・・　　、　 a[n], a[n+1]     、　・・・

　について　　 a[n+1] = 2*a[n]      という関係式が成り立っている。　この式のことを漸化式という。

 　また、数列　　１，１，２，３，５，８、　　・・・　　、 a[n], a[n+1]   , a[n+2]   、　・・・

　について　　 a[n+2] = a[n]+a[n+1]      という関係式が成り立っている。　この式のことを漸化式という。

　上記のように、具体的に数列が与えられると、漸化式を作ることができる。

　

　逆に、漸化式が与えられると、それがどのような数列であるかを復元することができます。

　

（例　１）

　　次の式を満たす数列の一般項を求めなさい。

　　　　　　　　 a[n+1] = a[n]+4      ・・・　①

　　　　　　　　 a[1] = 5                 ・・・　②

　　【一般項の求め方】

　　　　　　　　式　①　の意味を考えると、第ｎ項に４を加えると第（ｎ＋１）項が得られる。

　　　　　　　　このことは、公差が４である等差数列であることを意味している。

　　　　　　　　そこで、等差数列の一般項の公式

　　　　　　　　　　　　　　 a[n] = a+(n-1)*d         

                  

　　　　　　　　を利用して

　　　　　　　　　　　　　　 a[n] = 5+(n-1)*4     

                                   = 4*n+1      

                 

　　　　

（例　２）

　　　次の式を満たす数列の一般項を求めなさい。

　　　　　　　　 a[n+1] = 2*a[n]       ・・・　①

　　　　　　　　 a[1] = 3                ・・・　②

　　　【一般項の求め方】

　　　　　　　　式　①　は　第ｎ項を２倍すると第（ｎ＋１）項が得られることを意味している。

　　　　　　　　このことは、公比が　２　である等比数列ということを示している。

　　　　　

　　　　　　　　初項は、３　であるから　　公式　 a[n] = a*r^(n-1)      を用いて

　　　　　　　　　　　　　　　 a[n] = 3*2^(n-1)     

　

漸化式の解法

　

数列の基本である等差数列と等比数列に関しては一般項が分かっているので、

これを上手く利用することにより、漸化式から一般項を求める工夫をしよう。　

　漸化式　（Ⅰ）　　   a[n+1] = Q*a[n]+P    または   a[n+1]-p = q(a[n]-p)    の形　　

例題　　　次の漸化式より一般項を求めなさい。

               a[n+1]-3 = 2*(a[n]-3)       ・・・　①

　　　　　 　 a[1] = 5                             ・・・　②

（解）

　　     　　 b[n] = a[n]-3                      ・・・　④　とおいてみよう。すると、式①は次のように表現できる。

　　　　　　 b[n+1] = 2*b[n]        　　　　　・・・　⑤

　　　　　　この式⑤の意味を考えると、「第ｎ項を２倍すると第（ｎ＋１）項が得られる」

　　　　　　したがって、数列　 {b[n]}   は公比が２の等比数列である。

　　　　　　また、初項は、　 b[1] = a[1]-3  = 5-3 = 2　であるので、一般項は

　　　　　　 b[n] = 2*2^(n-1)  = 2^n  　　　　・・・　⑥　を得る。

　　　　　　これを、式④に代入して

　　　　　　 a[n]-3 = 2^n        

        　　よって     

              a[n] = 2^n+3       

　問題　     a[n+1]-p = q(a[n]-p)    の形　

　

1)      a[n+1]-5 = 3*(a[n]-5)       ,    a[1] = 8 　

 

2)       a[n+1]+2 = -2*(a[n]+2)      ,   a[1] = 5

 

>    rsolve({a(n+1)-5=3*(a(n)-5),a(1)=8},a(n));

3^n+5

>    rsolve({a(n+1)+2=-2*(a(n)+2),a(1)=5},a(n));

-7/2*(-2)^n-2

 

さて、    a[n+1]-p = q(a[n]-p)          を展開して変形してみよう

    　　　 a[n+1]-p = q*a[n]-q*p       

           a[n+1] = q*a[n]-q*p+p

     即ち

           a[n+1] = Q*a[n]+P     　の形は、この変形を遡ることにより

　　　　　 a[n+1]-p = q(a[n]-p)  　と変形できるので解くことができる。

【例題】

　　　次の漸化式を解きなさい（一般項を求めなさい）

　　

　　　　　　　　　 a[n+1] = 3*a[n]-2          ・・・　①

　　　　　　　　　 a[1] = 7                        ・・・　②

　　　　　

【解】

　　　式①を変形して

　　　　　　　　　　 a[n+1]-p = 3*(a[n]-p)       の形にしたい。この式を満たす　ｐ　の値を求めよう。

　　　展開して　

　　　　　　　　　　 a[n+1] = 3*a[n]-3*p+p   

                       -2*p = -2

                            p = 1

　　　よって、式①は次の式に変形される

                       a[n+1]-1 = 3*(a[n]-1)

　　　これは、数列 　 {a[n]-1} 　が公比 ３ の等比数列であることを示している。

                  初項　 a[1]-1 = 7-1 = 6  であるから、一般項は

　　　　　　　　 a[n]-1 = 6*3^(n-1)     =  ２・ 3^n  

                   a[n]   =  ２・ 3^n    + 1

  問題　　漸化式　　 a[n+1] = Q*a[n]+P      の形の問題　

　  

次の漸化式を解きなさい

1)    a[n+1] = 2*a[n]-5    ,     a[1] = 7

2)     a[n+1] = 3*a[n]-6        ,     a[1] = 8

  

 

 

>    rsolve({a(n+1)=2*a(n)-5,a(1)=7},a(n));

2^n+5

>    rsolve({a(n+1)=3*a(n)-6,a(1)=8},a(n));

5/3*3^n+3

　

  漸化式　（Ⅱ）        a[n+1] = q*a[n]+p^n       の形

　

上記の漸化式（Ⅱ）を、漸化式（Ⅰ）　 a[n+1] = Q*a[n]+P     と比較してみよう。

漸化式（Ⅰ）はＰが定数である。漸化式（Ⅱ）は　 P^n   であり　ｎ　の関数である。

漸化式（Ⅰ）は解けるので、漸化式（Ⅱ）における　 p^n   　の部分が定数になれば良い。

　

どうすれば、 p^n  を定数にすることができるだろうか。（わからない人は、ここをクリック）

　

　 p^n   　を   p^n 　　で割れば、　 p^n/(p^n)    = 1  となり、定数になる。

>   

　

そこで、漸化式（Ⅱ）の両辺を p^n 　で割って

　　　　　　式　　　　 a[n+1]/(p^n) = q*a[n]/(p^n)+p^n/(p^n)      　　 を得る

これを次のように変形すると

                          p*a[n+1]/(p*p^n) = q*a[n]/(p^n)+p^n/(p^n)                      　　　　　　　　　　　　  

これを、次のように考え

　　　　　　　　　　　 P*a[n+1]/(p^(n+1)) = q*a[n]/(p^n)+1

ここで、　 b[n] = a[n]/(p^n)     とおくことにより

　　　　　　　　　　　　 p*b[n+1] = q*b[n]+1

を得る。漸化式は漸化式（Ⅰ）により解ける。

　

　（例題）　　

                   次の漸化式を解きなさい。

                         a[n+1] = 3*a[n]+2^n          ・・・　①

　　　　　　　　　　　 a[1] = 5                          ・・・　②

　（解）　　　式①の両辺を　　 2^n     で割ると

　　　　　　　　　　　 a[n+1]/(2^n) = 3*a[n]/(2^n)+2^n/(2^n)        

               

               これを変形して

　　　　　　　　　　　 2*a[n+1]/(2^(n+1)) = 3*a[n]/(2^n)+1    

                ここで、　 b[n] = a[n]/(2^n)                        ・・・　③　　 とおくと

　　　　　　　　　　　　 2*b[n+1] = 3*b[n]+1 　　　　　・・・　④

　　　　　　　これを　２　で割って

                              b[n+1] = 3*b[n+1]/2+3/2

　　　　　　　

　　　　　　　ここで、次の式を満たすPの値を求めよう

                             b[n+1]-p = 3*(a[n]-p)/2     

                             b[n+1] = 3*a[n]/2-3*p/2+p      

　　　　　　　                    -p/2 = 3/2     　より       p = -3

　　　　　　　よって、④は次のようになる

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　 b[n+1]+3 = 3*(b[n]+3)/2       

               これは、数列　 {b[n]+3}  が公比　 3/2    の等比数列であることを示している。

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　初項は　 b[1]+3  =   a[1]/2  + 3 = 5/2+3  = 11/2     であるから

　　　　　　　　　　　　 {b[n]}+3 = {11/2}*(3/2)^(n-1)      

                           

　　　　　　　　　　　　 b[n] = {11/2}*(3/2)^(n-1)-3   

        　　　　③より

   

　　　　　　　　　　　　 a[n]/(2^n) = b[n]       であるから     

                          a[n] = 2^n*b[n]   

                             = 2^n*{11/2}*(3/2)^(n-1)-{3}*2^n

                             = {11}*3^(n-1)-{3}*2^n

　　　

　

>   

>   

　

  漸化式　（Ⅲ）　　　 a[n+2]-p*a[n+1] = q*(a[n+1]-p*a[n])   または　   a[n+2]+Q*a[n+1]+P = 0 　の形

　

　漸化式（Ⅰ）、（Ⅱ）と漸化式（Ⅲ）を見比べることにより、漸化式（Ⅲ）の解き方を考えよう。

　漸化式（Ⅰ）、（Ⅱ）は二つの項により漸化式ができているが、（Ⅲ）は三つの項により漸化式ができている。

　そこで、漸化式（Ⅲ）を変形して、二つの項からなる漸化式に変形し、漸化式（Ⅰ）、（Ⅱ）に帰着させることにより解く。

　（例題　１）

　　　　　 a[n+2]-2*a[n+1] = 3*(a[n+1]-2*a[n])      ・・・　①

　　　　

　　　　　 a[1] = 4       a[2] = 6                                 ・・・　②

　

　（解）

　　　　　式①は、三つの項｛第ｎ項、第（ｎ＋１）項、第（ｎ＋２）項｝からできている。

　　

　　　　　そこで、二つの項からなる漸化式とするために、次のように置きかえる。

　　　　

　　　　　 b[n] = a[n+1]-2*a[n]

　　　　

　　　　　とおくと、式①は次のようになる。

　　　　　 b[n+1] = 3*b[n]      　

　　　　

　　　　　この数列　 {b[n]}   は公比が３の等比数列である。

　　　　　初項は　 b[1] = a[2]-2*a[1]  = 6-8 = -2

             b[n] = {-2}*3^(n-1)      

            a[n+1]-2*a[n] = {-2}*3^(n-1)      

           この形は、漸化式（Ⅱ）と同形で二つの項からなる漸化式あるので解くことができ,次の解を得る。

       

　　　　　 a[n] = -{2/3}*3^n+{3}*2^n 　　　　　　　

 

 　　　

>    rsolve({a(n+2)-2*a(n+1)=3*(a(n+1)-2*a(n)),a(1)=4,a(2)=6},a(n));

-2/3*3^n+3*2^n

>   

  （例題　２）

　　　　　　　　　　 a[n+2]-3*a[n+1]+2*a[n]  = 0    ・・・　　　①　　　　　　　

　　　　　　　　　　 a[1] = 3      a[2] = 4                   　・・・　　　②

　（解）

                      式①を変形して

                     

                      a[n+2]-p*a[n+1] = q*(a[n+1]-p*a[n])        ・・・　③になると考えて、ｐ、ｑ　を求める。

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　式③を展開して整理すると

　　　　　　　　　　 a[n+2]-(p+q)*a[n+1]+p*q = 0              ・・・　④

     

　　　　　　　　　　式①と式④が同じであるから

　　　　　　　　　　 p+q = 3, p*q = 2          

       

                      を得る。これを解いて

                       p = 1, q = 2 　　　　　　・・・　⑤

       

                       p = 2, q = 1 　　　　　　・・・　⑥

　　　

　⑤の場合、式③より

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　 a[n+2]-a[n+1] = 2*(a[n+1]-a[n])       を解けば良い

　　　　　　　　　　　　 b[n] = a[n+1]-a[n]       とおいて

　　　　　　　　　　　　 b[n+1] = 2*b[n]          をえる。

　　　　　　　　　　　　これは、公比２の等比数列であることを示している。

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　初項は、　 b[1] = a[2]-a[1]  = 4-3 = 1　　　であるから

                           b[n] = {1}*2^(n-1)             である。

                          よって、　　 a[n+1]-a[n] = 2^(n-1) 　　　　・・・　⑦　をえる。

　　　　　　　　　　　式⑦において、ｎ＝１，２，３・・・、（ｎ－１）　　とすると

                        n=1           a[2]-a[1] = 2^0     

                        n=2           a[3]-a[2] = 2

                        n=3            a[4]-a[3] = 2^2

                        n=4            a[5]-a[4] = 2^3

                        n=n-1        a[n]-a[n-1] = 2^(n-2)

                -------------------------------------------------------------

 （ｎ＝１からｎ－１まで加えて）   a[n]-a[1] = 2^0+2+2^2+2^3   　　　 ・・・          + 2^(n-2)

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 a[n] = 1*(2^(n-1)-1)/(2-1)+a[1]

                                         

                                          a[n] = 2^(n-1)+2

　  ⑥の場合、式③より                 

  

　　　　　　　　　　　 a[n+2]-2*a[n+1] = a[n+1]-2*a[n]  =     ・・・       = a[2]-2*a[1]  =  4-6 = -2

                         a[n+1]-p = 2*(a[n]-p)      を満たす　ｐ　の値を求めると

　　　　　　　　　　　 a[n+1]-2*a[n] = -p           

                         これより、P=2　を得る

　　　　　　　　　　　 a[n+1]-2 = 2*(a[n]-2)

                          b[n] = a[n]-2     とおいて

　　　　　　　　　　　 b[n+1] = 2*b[n]

  

                       これは、公比２の等比数列である。

　

　　　　　　　　　　　　　　　初項は　 b[1] = a[1]-2  = 3-2=1

                          

                          b[n] = 2^(n-1)

                          a[n] = b[n]+2  = 2^(n-1)+2

 

        ⑤、⑥をまとめて、

　　　　　　　　　   　 a[n] = 2^(n-1)+2 　

              

>   

いろいろな数列

数列には、いろいろなものがある。

今までに勉強した等差数列、等比数列、Σ、、漸化式などの基本知識を活かして

それぞれの数列を楽しみながら、考えて行こう。

　

（例　１　　　階差数列を利用）

　

数列

　３、４、６、９、１３、１８、　・・・　　　　　　　　　　　　・・・①

を考えてみよう。

この数列の第７項はいくつであろうか。また、一般項はどんな数であろうか。

　この数列はどのような規則で成り立っているのかを考えてみよう。　

　第７項が分かる人は、その規則を発見できた人である。

　

　規則を発見できるまで、数列①をじっくり観察しよう。

　次のことがわかる

　 a[7] = 24      

     a[n] = n^2/2-n/2+3

この数列の規則がわからない人は、ここをクリックしてください。

　

数列　　①　　をじっくり観察してみよう。

数列①はだんだん増えているので、その増加を調べてみよう。

　　　　　　　　　　　　　         ３　、　４　、　６　、　９　、　１３　、　１８　、　　・　・　・　　　①　　

（隣り合う項の違い）　　　　　　　１　　　２　　　３　　　４　　　　５　　　・　・　・　　

数列②を見ると、これは、初項１、公差１　の等差数列である。②を①の階差数列という。

等差数列は勉強済みであるから、数列②に関しては一般項も、和も求めることができる。

数列②は、数列①より生まれたものであるから、工夫すれば、数列①の一般項などは求めることができる。

ここでは、二つの方法で求めてみよう。

方法Ⅰ　（漸化式を利用）

    上記の数列①、②より、次の漸化式を得る。

　       a[1] = 3   ,    a[n+1] = a[n]+n                 　

        これを、解けば良い。　各自やってみよう。

　　　　

 

方法Ⅱ　（Σ　を利用）　

　　　数列①は、数列②を利用することにより、次のように考えることができる。

       a[2] = 3+1

       a[3] = 3+1+2

       a[4] = 3+1+2+3

       a[5] = 3+1+2+3+4

      

       a[n] = 3 +(1+2+3+4+   ・　・　・　   +n-1)

       a[n] = 3+sum(k,k = 1 .. n-1)

　　

       a[n] = n^2/2-n/2+3     

　

（例　２　　　群数列）

　  数列

　　　　　１，１，２，１，２，３，１，２，３，４，１，２、・　・　・　　　　　　①

　

　　の第１００項を考えてみよう。

　　数列①は、どのような法則の基に出来上がっているのだろうか。

　　その規則を発見できれば、第１００項を求めることも難しくない。

　　　　　　　

　

この数列の規則がわからない人は、ここをクリックしてください。

　

　数列①を次のようにグループ分けして考えてみよう。

　

　

　　　１　　｜　　１，２　　｜　１，２，３　　｜　１，２，３，４　｜　１，２、・・・

　　１群　　　　　２群　　　　　　　３群　　　　　　　４群　　　　　　　　　５群

上のように区切り、１群に１個、２群に２個、３群に３個、４群に４個、・・・

という具合に数値があると考える。

そこで、第ｎ群までに何個の数値があるかを求めてみよう。

        sum(k,n = 1 .. n) = n*(n+1)/2        

 第100項は、何群にあるかを求めてみよう。

        n*(n+1)/2 <= 100

       n <= (-1+sqrt(801))/2    < 14

    

     よって、第１００項は第１4群にあることが判明する。

　　そこで、第13群までに何項あるかを計算すると、

　　 13*(13+1)/2 = 91

　

    第１４群の始まりは、第９２項で値は　１　ある。

　　したがって　、第１００項は　１＋８＝９　である。

（例　３　　　調和数列）

　　等差数列の各項の逆数を、その順に並べたものを調和数列という。

例えば、等差数列

　　３，５，７，９，１１、・・・　　　　　　　　　　　①

数列①の各項の逆数を考えた下記の数列②を調和数列という。

　　 1/3, 1/5, 1/7, 1/9   , ・・・　　　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　   

　

　４　　　特別な方法による和の求め方  部分分数に分解する）

　

　　和　   s[n] = {1/1-1/2}+{1/2-1/3}+{1/3-1/4}+{1/4-1/5}  + ・　・　・    +( 1/n-1/(n+1) )  　　　　　・・・①

    を求めてみよう。

　　

　　良く見ると、同じ値で符号の異なるものが出現しているので、簡単に答えを出すことができる。

　　　　　　　 s[n] = 1-1/(n+1)    をえる。

　　ところが、

                a[n] = 1/n-1/(n+1)       を通分して計算をする

                   = (n+1)/(n*(n+1))-n/(n*(n+1))

                   = 1/(n*(n+1))

    となるので、 s[n]   を下記のように表すことができる。

　　　　　　　 s[n] = 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)   +  ・　・　・     + 1/(n*(n+1)) 　　　　　　　　　　・・・②　　　　　

    この式②の和を求めてみよう。       

　　

　　

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