頂点を求める基本問題

二次関数　   の頂点の座標を求めなさい。

頂点を求める基本問題の解

　 式の変形による方法

    =

    =

 よって、頂点の座標は　(-2,1) である

　 微分による方法

     を微分して

    とする　x　の値を求めると

　    より

  このときのｙの値を求めて

  ゆえに、頂点は(-2,1) である。

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頂点を求める基本練習問題

　次の二次関数の頂点を求めよ。

　1)   

  2)   

  3)   

頂点を求める基本練習問題解答

1)  (-3,-6)

2)  (   , )

3)  (  , )

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頂点を求めるセンター試験レベル問題

二次関数　    の頂点を求めなさい

頂点を求めるセンター試験レベルの解

　（式の変形により）

       =  

       =    

　　よって、頂点は (  ,  )

　 （微分を利用する場合）

        より　　

    この x を代入して、頂点の座標  ( , )を得る

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頂点を求めるセンター試験レベレ練習

　次の関数の頂点を求めよ

　 1)　

   2)     

点を求めるセンター試験レベレ練習解

　1)   (  ,  )

  2)       のとき　　(  ,  )

            のとき　   となり直線であるので、頂点はない

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基本問題

　　   のグラフをかけ。　　

　解

　頂点を求め、次にy軸との交点を求めて、グラフをかきます。

　頂点は ( 1, 4)

  y 軸との交点は (0 , 5)　を基準にしてグラフをかく。

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基本問題練習

次の二次関数のグラフをかきなさい

　1)      

  2)    

解答

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センターレベル問題

二次関数　   の頂点を求めてグラフをかけ　　

解

　ａ　の値により異なるグラフがかける。

　ここでは、ａ　の値を　−２から３まで変化させてアニメーション的にかく

注意してこのグラフを見ると 、頂点が移動していることや、

最小値が変化していることや、

ａの値にかかわらず定点を通ることや

頂点が第3象限に存在することや

このグラフが存在し得ない場所があることなどがわかります

これらのことは、全て入試問題として出題されます

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センター試験レベル練習問題

　　二次関数　   のグラフを

　　次の指示に従ってかきなさい

　　１）　ａ＝−２　の場合（青色でかくこと）

　　２）　ａ＝２の場合（黒色でかくこと）

　　３）　ａ　の値が　−2から２まで変化すると、どんなグラフになるか想像してみる　

解

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　例題

  のグラフを見て、どんなことが分かりますか

グラフを見て分かることは、次のようなことです

　　　　　　　１）　　左右対称である。対称軸は　ｘ＝１ （軸の方程式）

　　　　　　　２）　　下に凸である

　　　　　　　３）　　頂点の座標は（１、−４）である。

　　　　　　　４）　　ｘの値の範囲が、-3≦ｘ≦５　でグラフがかかれている

　　　　　　　５）　　yの値が０になる ｘ の値は、ｘ＝−１　と　ｘ＝３　である

　　　　　　　　　　　これは、   の解が、ｘ＝−１　と　ｘ＝３　であるとも言える

　　　　　　　６）　　ｙの値が一番小さいのは、−４　である

　　　　　　　７）　　ｙの値が負になるのは、即ち、   となるのは、−１＜ｘ＜３　である

など、他にも多くの情報を得ることができる

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基本問題

つぎの　 　　・・・　�@　について、次の問いに答えなさい。

１）　頂点の座標を求めよ

２）　グラフをかけ

３）　最大値 ・最小値を求めよ

４）　方程式　 　を解け

５）　ｘ軸との交点を求めよ

６）　不等式  を解け

７）　１≦ｘ≦３　の範囲で　�@　のグラフをかけ

８）　１≦ｘ≦３　で、最大値と最小値を求めよ

９）　−４≦ｘ≦ａ　の範囲で、最大値を求めよ。また、最小値も求めよ

基本問題解答

  １）　式を変形することにより

           =  

　　　　よって、頂点の座標は（　   ,    ）

        （別解：微分をすることにより）

　　　　  = 0  として

                 このｘの値を�@に代入して頂点の座標を得る

　２）　頂点の座標、ｙ軸との交点の座標（０ , ０）を基にしてグラフをかく

  ３）　このグラフを、よく見ることにより、

　　　頂点で最小値をとり、最小値は　   （  )

　　　また、最大値はない（最大値はないことの証明ができますか？）

　４）　方程式　   を解くと

　　　　　　　　　ｘ（ｘ＋３）＝０

　　　　　　　　　ｘ＝０、−３

　５）　ｘ軸との交点は、ｙ座標がゼロの場合であるから、

　　　　式　�@　で　ｙ＝０　として

　　　　方程式　   を解けば良い

　　　　因数分解して（できない場合は、解の公式を利用する）

         よって、ｘ＝０,−３

         ゆえに、交点は（０,０）,（−３,０）である

　６）　不等式　    は

　　　　問題文の式�@において、ｙの値が負であることと同じである。

　　　　だから、�@のグラフをよく見ることにより（グラフでは水色の部分にあたる）

　　　　　　　　　−３＜ｘ＜０　

　　　　という解を得る

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　 ７）範囲が指定されているときは、左端の座標と右端の座標を調べてグラフをかく

　　　ｘ＝１のとき、ｙ＝４であり、ｘ＝３のとき、ｙ＝１８であるから

　　　求めるグラフは、ブルーの太い線の部分である

　 ８）　1≦ｘ≦３　の範囲での最大値は、上のグラフより　１８である（ｘ＝３）

　　　　　　　　　　　　　　　　　最小値は、グラフより　４である（ｘ＝１）

　９）　仮に     であると考えると、ブルーのベルト地帯で最大値、最小値を求めることになり

　　　　最大値はｘ＝−４のとき、最大値４

　　　　最小値は     のとき、最小値      となるのであるが・・・

　　　　しかし、この　ａ　の値は動くのである

　　　　そこで、次のグラフを良く見て、考えてください

　　　 　（左から右へ黒い線が移動していますが、この線がａの値を意味しています）

　　　 　上のグラフを、黒線に注意して観察することにより、次のようなことがわかります

　　イ）　黒線が青いベルトを移動中　⇔　このことをａで表すと　−４≦ａ≦  となる　　　

                  最大値はｘ＝−４のときのｙの値　即ち、最大値は　４

　　　　　　　　最小値は黒線（ｘ＝ａのとき）のｙの値、即ち、最大値は　   

　　ロ）　黒線が白いベルトを移動中　⇔　このことをａで表すと　 ＜ａ≦１となる

　　　　　　　　　最大値はｘ＝−４のときのｙの値　即ち、最大値は　４

　　　　　　　　　最小値はグラフの頂点であり　   のとき、最小値   　

　　ハ）　黒線が黄色のベルトを移動中　⇔　これをａで表すと　１＜ａ　となる

　　　　　　　　　最大値は黒線（ｘ＝ａのとき）のｙの値　即ち、最大値は　　   

　　　　　　　　　最小値はグラフの頂点であり　   のとき、最小値   　

　　以上

　　この　イ）、ロ）、ハ）　が理解できるとセンターレベルです

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センター試験レベルの問題

二次関数　   　・・・・・・　�@　について、次の問いに答えなさい

１）　このグラフの頂点の座標を求めなさい

２）　�@の頂点が第1象限にあるとき、ａ　はどんな範囲にあるか

３）　�@の最小値ｆ(a) を求めなさい。また、�@の最小値が最大になるａの値を求めよ

４）　このグラフが　ｘ軸と接するときのａの値を求め

５）　�@のグラフと　ｘ軸が共有点を持たないように、ａの値の範囲を求めなさい

６）　�@が点（−３、６）を通るとき、ａの値はいくつか

７）　０≦ｘ≦２　における�@の最小値を求めよ。また、最大値も求めよ

８）　よ

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センター試験レベルの問題解答

１）　式の変形または微分をりようすることにより　頂点は (   ,    )

２）　第1象限の座標は　ｘ＞０　かつ　ｙ＞０　であるから

     を同時に満たすａの範囲が答えである

　　この連立不程式を解いて

　　　　　　　　　　　　　　−１＜ａ＜２

　　である

３）　頂点で最小値をとるので

　　　最小値は　　　　   　である

　　　最小値　   が最大になるのは、このグラフをかけば直ぐにわかる

 このグラフより最大値は頂点であり、   のとき　最大値　 　　となる 　

４）　　�@のグラフをかくと

 このグラフを見ると、ｘ軸に接するのは、頂点のｙ座標がゼロになるときである

したがって、頂点のｙ座標がゼロのとき、即ち、  のときである

これを解いて    ａ＝２、ａ＝−１

５）　共有点を持たないのは、頂点のｙ座標が正のときである

　　　即ち、　   　解けばよい

　　　上記３）、４）のグラフを参考にして、−１＜ａ＜２　を得る　

６）　点（−３，６）を通るので、ｘ＝−３、ｙ＝６　とした方程式

          を解いて、

　　　ａ＝１　

７）　�@のグラフをかき、０≦ｘ≦２　の範囲で最小値を求めてみよう

上のグラフを観察すると、最小値は青いベルトの左端であったり、

青いベルトの上であったり、ベルトの右端であったりする。

「どうしてそうなるのか？」を考えると、頂点のｘ座標が大切な役割をしていることがわかる。

イ）　頂点がベルトの左側にあるとき　即ち　  のとき　最小値は　ｘ＝０　のとき　   となる

ロ）　頂点がベルト上にあるとき、即ち、０≦ａ−２＜４　のとき　最小値は　ｘ＝ａ−２　のとき　   となる

ハ）　頂点がベルトの右側にあるとき　即ち、４≦ａ−２　のとき　最小値は　-ａ＋１８　となる

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