順列（Permutation)
「3個の文字、A、B、C を一列に並べると、何通りの並べ方があるか」 ・・・①
を考えてみましょう。
どのような並べ方があるか？ 具体的に調べてみると、次のようになります。
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
上記の 6通りです。
このように、全ての並び方を調べ上げれば良いのです。
では、「A、B、C、Dの4文字を一列に並べると、何通りあるか」調べてください。
ちょっと面倒ですが、ABCD、ABDC,ACBD,・・・途中略・・・、DCBA と
具体的に調べることにより、答えは24通りであることが分かります。
しかし、「AからZまでの26個の文字を一列に並べたら何通りあるか」
という問題についてはどうでしょうか。
全ての並び方を上の例のように調べ上げて、答えを出していたら大変です。
どんなに大変か説明しましょう。
実は、26個の文字を一列に並べると、そのこの答えは 
通りもあります。
１秒で一つの並びを書き出したとして、全ての並びを書き出すのにどれくらいの時間が必要か？
計算をして見ましょう。
÷６０(秒)÷６０(分)÷２４(時間)÷３６５(日)＝ 
即ち、１２７８京８２８８兆３４１１億５３１４万６７３９年と２６７日（１９桁の年数））を必要とします。
宇宙の年齢が約１４０億年（９桁）といわれていますから・・・。
具体的に書き並べていると、答えを出すことは不可能です。
そこで、全ての並び方を調べ上げなくても答えを出す方法があれば助かります。
もう一度、問題① 「3個の文字、A、B、C を一列に並べると、何通りの並べ方があるか」 を考えてみよう
具体的に例を挙げながら、何通りあるか数えなくても良いのです。
まず、文字 A、B、C を一列に並べるために、文字を置く場所を3個用意しよう。
□ □ □
左端には、A、B、Cのどの文字がきても良いので、左端は3通りの文字の置き方ある。
そこで、左端にA、B、Cのうち、どれか一つの文字をおく。
すると、まだ置く場所が決まっていない文字が二個残っている。
③ □ □
さらに、残っている文字の中から中央に置く文字を決めると、その文字の置き方は
残っている文字の 2通りである。そこで、その二文字のうち一個を中央に置く。
③ ② □
すると、まだ置く場所が決まってない文字が一個残っている。
必然的に、右端は残った一個、即ち、一通りに決定される。
よって、並べ方は
③×②×①＝6 の
6通りである。
上記の例のように、問題に適合するように 幾つかの□ を用意して何通りあるか考えると良い。
なお、3×2×1 のことを 3！（３の階乗と発音）と表現する。
一般に、 ｎ×（ｎ-１）×（ｎ-2）×・・・×3×2×1 のことを ｎ！ と表現する。
例題
問題
5個の文字 ABCDE を一列に並べると、何通りあるか
解答
文字を並べるために、□ を5個用意する
□ □ □ □ □
左端の□にはA、B、C、D、Eのどの文字が入っても良いので5通りある。
そこで、仮に一つの文字を左端に置いてみよう。
⑤ □ □ □ □
次に、二番目の□について考えよう。まだ□に置いていない文字が4個残っている。
二番目の□には、残っている4個の文字のどれを入れても良いので、4通りの入れ方がある。
⑤ ④ □ □ □
同様に、三番目の□、四番目の□、五番目の□を考えて
５×4×3×2×１
を計算すれば良いことが分かる。
これを計算して答え 120通りを得る。
練習問題
問題
１） 国語、英語、歴史、数学の辞典各一冊合計4冊を一列に並べたい。何通りあるか。
２） ＡＢＣＤＥＦＧの７文字を一列に並べると、何通りあるか。（□を用意して具体的に考えてみる）
3) 家族5人が一列に並んで記念撮影をしたい。何通りの写真ができるか。
答え
１） ４×３×２×１＝２４ ２４通り
２） ７×６×５×４×３×２×１＝２４ ５０４０通り
3) ５×４×３×２×１＝120 １２０通り
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例題 ｎ個の中からｒ個取り出して、さらに、そのｒ個を並べる ｎ Ｐ ｒ
問題
5人の中から会計1名、会長1名を選ぶ。何通りあるか。ただし、兼任はできないものとする。
解答
会計用の□と会長用の□ 合計二つの□を用意します。
□□ （左側が会計、右側が会長）
一番目の□には、誰が来ても良いので５通りある。
二番目の□は何通りあるか考えよう。
一番目の箱は、もう既に決定しているので４通りある。（５－１）通り。
したがって、５×４ を計算すればよい。
そこで、答えは、２０通り
このことを、記号で ５ Ｐ ２ と表現する。
計算は、 ５ Ｐ ２ ＝５×４＝２０ とする。（５を出発点として2個かける）
一般に、「異なるｎ個の中から異なるｒ個を順序も考えて取り出す」ことを
「ｎ個からｒ個取る順列」といい、記号で n Ｐ ｒ と表す。
では、 n Ｐ ｒ は、どの様に計算すれば、良いのだろか？
箱をｒ個用意しよう。
□□□□・・・□□
左端から順に、各□に何通りあるか考えよう。（必ず、自分で何通りあるかを考えること）
一番目の □ は ｎ 通り
二番目の □ は ｎ－１ 通り
三番目の □ は ｎ－２ 通り
（途中を省略）
ｒ番目の □ は ｎ－ｒ＋１ 通り ←ここが分かるかな？
だから、 n Ｐ ｒ ＝ ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・×（ｎ－ｒ＋１） である。
例題）
１，２，３，４，５，６ と記入されたカードが６枚ある。
このカードの中から３枚のカードを選び３桁の数を作る。
何通りの数ができるか。
解答） ６ Ｐ ３ ＝６×５×４＝１２０
よって、１２０通り
問題 次の順列は何通りありますか。 式を n Ｐ ｒ 形で表し、計算しなさい。
１） ５人の中から３人選び一列に並べる。
２） ５人の中から４人選び一列に並べる。
３） ９人の野球チームで打順を決める。
４） １０人のグループで、会長一名、副会長一名、会計一名を決める。
ただし、兼任は認めないものとします。
答え
１） ５ Ｐ ３ ＝５・４・３＝６０
２） ５ Ｐ ４ ＝５・４・３・２＝１２０
３） ９ Ｐ ９ ＝９！＝9・8・7・6・5・４・３・２・１＝３６２８８０
４） １０ Ｐ ３ ＝１０・９・８＝７２０
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問題
n Ｐ ｒ ＝ 
であることを証明しなさい。
答え
左辺＝ n Ｐ ｒ ＝ ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・×（ｎ－ｒ＋１） である。
右辺＝ 
＝ 
（分子分母を比べ約分する）
＝ｎ×（ｎ－１）×（ｎ－２）×・・・×（ｎ－ｒ＋１） である。
よって、与式は成立する。
並べるとき条件がある場合
（問題に適する例を具体的に挙げ、問題の意味を考える。その後、計算式を考える）
１） 6個の文字ABCDEFを次の条件にしたがって並べると何通りあるか。
① 単に一列に並べる。
② 左端には母音（AまたはE)が必ずくる。
③ 両端に必ず母音がくる。
④ 文字ABが隣り合うようにする。
答え
条件があるときは、その条件を優先して何通りあるかを考える。
① 6 P 6 ＝ 6×5×4×3×2×1＝720 720通り
② まず、6個の□を用意して考える
■ □ □ □ □ □
■に置いて良い文字は、AかEの2通りである。
そこで、■にAEのどちらかを置いてみると、
② □ □ □ □ □
残りの文字は5個あるので、二番目の□には5通りの置き方がある。
したがって、
２ P １ × ５ P ５ ＝2×5×4×3×2×1＝240 240通り
③ まず、6個の□を用意して考える
■ □ □ □ □ ■
■に置いて良い文字は、AかEの 2×1 通りである。
そこで、■にAEを置いてみると、
② □ □ □ □ ①
残りの文字は4個あるので、二番目の□には４通りの置き方がある。
したがって、
2×（4×3×2×1）×1＝48 48通り
または、
２ P ２ × ４ P ４ としても良い
④ まず、ABがバラバラにならないように、この二文字を縛っておき、一つの文字と考える。
すると、文字は全部で5個あると考えられるので、□を5個用意して考える。
□ □ □ □ □
これにより、5×4×3×2×1
しかし、ABは入れ替わってBAとなってもよいので
2×１×5×4×3×2×1＝240 240通り
勿論
２ P ２ × ５ P ５ としても良い。
まとめ
条件のある並べ替え問題は、
条件の厳しいところから順に考えていくと良い。
要領良く考えること。
視点を変えると考え易くなる。
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練習問題
7個の文字ABCDEFGについて、次の並べ方は何通りあるか。
① この7文字を一列に並べる。
② 中央にAがくるように並べる。
③ 左端に母音がくるように並べる。
④ 両端に母音がくるように並べる。
⑤ 二つの文字ABが隣り合わせになるように並べる。
⑥ 一列に並べたとき、偶数番目はABCのどれかになっている。
答
① 7×6×5×4×3×2×1＝5040 5040通り
７ P ７ としても良い。
② まず、7個の□を用意して考える
□ □ □ ■ □ □ □
中央の■には、Aがくるので 1通り
そこで、中央にAを置くと、残りの文字は6個である。
左端から順に何通りあるか考えて
6×5×4×1×3×2×1＝720 720通り
１ P １ × ６ P ６ としても良い。
③ まず、7個の□を用意して考える
■ □ □ □ □ □ □
左端の■には、AかEがくるので ２通り
そこで、左端にAまたはEを置くと、残りの文字は6個である。
二番目から順に何通りあるか考えて
2×6×5×4×3×2×1＝1440 1440通り
２ P １ × ６ P ６ としても良い。
④ まず、7個の□を用意して考える
■ □ □ □ □ □ ■
両端の■には、AまたはEがくるので ２×1 通り
そこで、両端にAまたはEを置くと、残りの文字は5個である。
二番目から順に何通りあるか考えて
2×（5×4×3×2×1）×1＝240 240通り
２ P ２ × ５ P ５ としても良い。
⑤ まず、ABがバラバラにならないように、この二文字を括って置き、一つと考える。
すると、文字は全部で6個あると考えられるので、□を6個用意して考える。
□ □ □ □ □ □
これにより、6×5×4×3×2×1
しかし、ABは入れ替わってBAとなってもよいので
2×6×5×4×3×2×1＝1440 1440通り
２ P ２ × ５ P ５ としても良い。
⑥ まず、7個の□を用意して考える
□ ■ □ ■ □ ■ □
偶数番目の■には、ABCのいずれかがくるので 3×２×1 通り
そこで、偶数番目にABCを置くと、残りの文字は４個である。
残りの4文字を奇数版目に置くのは何通りあるか考えて
（3×2×1）×（4×3×2×1）＝144 144通り
２ P ２ × ５ P ５ としても良い。
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問２
１、２、３、４、５，６，７と書かれた７枚のカードを使って４桁の数を作る。
次ぎのものは何通りありますか。
① 奇数
② 偶数
③ ３の倍数
答
１） 一の位は奇数であるから、一の位は１，３，５，７の４通り
千百十の位は ６ Ｐ ３ 通り
よって、 ４× ６ Ｐ ３ ＝４・６・５・４＝４８０
２） 一の位が偶数であることに注意して
３× ６ Ｐ ３ ＝３・６・５・４＝３６０
３） ３の倍数は次の数字の組合せである。
１、２，３、６
１，２、４、５
１、２、５、７
２，３，４、６
２、４、５、７
３、４、５、６
よって、
６×４！＝６・４・３・２・１＝１４４
例題 同じものが含まれているとき
「3個の文字AABを一列に並べると何通りあるか 」考えてみよう
考え方
同じ文字があるので考えにくいので
全く異なる文字 A A B の3個があると考えて何通りあるか求めると
3×2×1＝6 の 6通りである。
しかし A A B も
A A B も 色の違いを無視すれば同じものであるにもかかわらず、
上記の6通りは A と A との入れ替わったものを異なるものであるとしている。
そこで、正しい答えは 上記6通りを、 A と A との入れ替りの数 2×1 で割ったものである。
よって、 6÷2＝3 3通りが正しい答えである。
参考まで、全ての並び方を調べ上げると、つぎの3通りである。
AAB
ABA
BAA
まとめ
「同じものを含む場合の並べ方」を求める方法は、
第一に、全て異なるものからなっていると考えて何通りあるか計算する。
第二に、同じものが何個あるか確認し、その同じものの入れ替えが何通りあるか考える。
最後に、第一で求めたものを、第二で求めたもので割ればよい。
また、組合せを利用する方法もある。
練習問題
１） AAABC の5個文字を並べると、何通りあるか。
２） AAABB の5個の文字を並べると、何通りあるか。
３） BARABARA の8文字を並べると、何通りあるか
答え
1) 
= 
= 20
2)
= 
= 10
3)
= 
=
420
（参考） 組合せ ｎ C r を使って答えることもできる
＝２２０ 
= 64 
= 64 
= 243 
= 4096 
